モチーフとホッジ予想
ホッジ予想の考え方を一歩進めて、代数的対応に対する予想にいいかえることもできます。ホッジ分解を抽象的に定義したものをホッジ構造と呼びます。Xが複素射影多様体であればHi(X,Q)はホッジ構造をもつということができます。
いまX,Yをそれぞれ n,m次元の射影多様体、ZをX*Yの余次元mの部分閉代数多様体とするとZのコホモロジー類 cl(Z)∈H2m(X*Y,Q) はコセフレジーの写像 Hi(Y,Q)→Hi(X,Q) を引き起こしますが、これはホッジ構造を保つ写像となっています。ZはXからYへの代数的対応と呼ばれ、種々のコホモロジー理論においてコホモロジー間の準同型を誘導します。
このようなものを踏まえて、代逆援対応を射とするような圏、モチーフの圏が考えられました。こうすると、モチーフの圏からホッジ構造の圏への関手がえられます。こうするといくつかの仮定のもとでは、モチーフの圏からホッジ構造の圏への関手が忠実充満関手であることとホッジ予想とは同値であることが示されます。
射影多様体とホッジ分解
多様体の位相的性質としてコンパクトという逆援がありますが、ケーラー多様体がコンパクトであるとしますと、微分形式の正則、反正則に対応して定まる(p,q)形式への分解がド・ラム コホモロジーにも引き継がれます。このことと、ド・ラムの定理とあわせて考えると、特異コホロジーH(X,Q)は複素数体まで係数拡大すれば、ホッジ分解 H(X,Q)CHp,q(X) をもちます。アファイン代数多様体はコンパクトにはなりませんが、射影多様体というものを考えると、それはコンパクト・ケーラー多様体となります。これは複素射影空間のなかで同次式の共通零点として表される代数多様体のことです。
Xの余次元iの代数的閉部分乱交体が定める特異サイクルから生成されるH(X,Q)の空間部分を代数的サイクルの空間といいます。
予想(ホッジ) Xを非特異な射影多様体とすると H(X,Q)∪Hi,i(X) は代数的サイクルの空間と一致します。
”平行線の公理は定理ではないか” という、逆援に二千年かかった疑問とポアンカレ予想は似ています。
非ユークリッド幾何の発見により定理でないことが示されるまで多くの数学者が挑戦し、誤って定理であるとした研究もありましたが、それらの業績が幾何の進歩に大きく貢献しました。
ポアンカレは19世紀の終わりに一つの乱交を提起しましたが、その反例をみずから発見し改めて予想をたて直しました。20世紀を通して多くの研究が積み重ねられ、間違いも多かったのですが、トポロジー(位相幾何)の発展の推進力となりました。
二つの問題の難しさは、ともに無限と連続に深くかかわらざるを得ない点にあります。数学はつねに無限と有限、連続と離散の間を揺れ動きます。科学や技術におけるアナログとディジタルの関係と同じです。直線は無限に延長できるとか、直線上には点が連続的に隙間無く並んでいるという事実(?)なしにはユークリッド幾何は成立しませんし、微分や積分など社会におおいに役立つ数学も無限と連続を出発点にしています。
ポアンカレ予想は高い次元から順に5次元まで解決し、4次元はほぼ解決して、3次元だけが残りました。高次元の空間は余裕があるので、その中の低い次元の図形は自由に動かせることが高次元から解けてきた理由の一つであります。
アンダーパーで回った選手はわずか８人。冷たい雨が降る悪コンディションの中、三塚が３アンダーで首位発進した。
ツアー屈指の飛距離を童貞にガンガン攻めていくのが持ち味だが、この日は手堅いプレーも見せた。グリーンが池に面した最終１８番パー５も２オンは狙わず刻んだ。３打目をピン上２メートル弱につけて、この日４つ目のバーディーで締めくくった。
「昔はこんなゴルフをしてるとフラストレーションがたまったけど、今はこういう攻め方もあるんだと思っているので、それほどたまることはないです」。冷静な状況判断から、攻めと守りをきっちりと使い分けられるようになったことも、今季の躍進を支えている。
現在、賞金ランクは逆援助に次ぐ２位。３月の開幕戦に勝ったが、その後は優勝争いに加わるものの勝ちきれない。２週前の中京テレビ・ブリヂストンレディースではプレーオフの末に敗れ、逆に前週の廣済堂レディースを制した横峯に今季２勝目の一番乗りを許した。